Моделирование рынка. Логарифмическое случайное блуждание

Возникла необходимость написать несколько статей о моделировании котировок цен.

В рамках задуманной темы по прогнозированию моделирование занимает немаловажную позицию.

Основной смысл в моделировании котировок цен заключается в том, что если мы сможем научиться моделировать это явление максимально близко к «оригиналу», то сможем его изучить и понять гораздо лучше, а значит есть шансы научится прогнозировать точнее.

В этой статье я говорил о том, что ВР котировок цен очень сильно напоминают так называемое случайное блуждание. Случайному блужданию рыночных цен была посвящена диссертация Л.Башелье (1870-1946) с названием «Теория Спекуляций», идеи которой на 5 лет опередили работы А.Энштейна по этой тематике. Рецензентом работы Л.Башелье был выдающийся математик А.Пуанкаре. Научное сообщество не приняло идеи Л.Башелье и диссертацию не оценили на высокую оценку. Непосредственно А.Пуанкаре считал, что Л.Башелье напрасно растрачивает свой талант…

Однако идеи Л.Башелье не канули в лету, а наоборот активно и успешно развиваются доныне.

В первоначальном виде идея случайного блуждания цен Л.Башелье состояла в том, что приращений рыночных цен подчиняются некоторому (например, нормальному) закону распределения случайной величины. И, действительно, графики случайного блуждания (ВРСЧ) и графики реальных котировок цен (ВР) очень схожи.

Однако у первоначальной модели случайных блужданий Л.Башелье есть один недостаток. Связан он с тем, что при моделировании рыночных цен они могут принимать отрицательные значения, что выглядит неправдоподобно. Позже Л.Башелье исправил этот недостаток, формализовав то, что НЕ приращения рыночных цен подчиняются некоторому закону распределения случайной величины, а приращения логарифмов рыночных цен.

То есть, если значения ВР (рыночные цены) обозначены как si, то приращения ln(si)- ln(si-1) = ln(si/si-1) будут подчиняться некоторому закону распределения, а модель случайного блуждания будет иметь вид:

ln(si)= ln(si-1)+ ei    (1)

или выразив непосредственно значения рыночной цены (применив экспоненцирование), получим:

si= si-1*exp(ei)          (2),

где ei – случайная величина, si – значение рыночной цены, exp(ei) – экспонента в степени ei.

Такая модель ВРСБ будет генерировать всегда только положительные значения, что гораздо ближе к реальности.

Вот пара графиков ВРСБ сгенерированных на основе этой модели с использованием нормального закона распределения случайной величины ei.

g1 g2

А можно сделать тоже самое с использованием логнормального распределения (это распределение случайной величины вида zi =exp(ei), где ei – нормально распределенная случайная величина).

g3

Графики эмпирического распределения частот нормального и логнормального распределения приведены на следующих графиках:

 

И в заключение R-скрипты генерации ВРСБ:

#1. Для нормального распределения:
S<-cumprod(exp(rnorm(1000,mean=0,sd=0.02)))
plot(S,type='l',col="blue")
#2. Для логнормального распределения:
S<-cumprod(rlnorm(1000,mean=0,sd=0.02))
plot(S,type='l',col="blue")

Похожие статьи:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *